CF1836

cf1836 · 浏览次数 : 10

小编点评

**A. Destroyer 的思路** 1. 创建一个 DP 数组 `f`,其中 `f[x, i]` 表示处理到第 `x` 个人,一共分配了 `i` 个银币的公司省下的最多银币。 2. 初始化 `f` 数组,并让 `f[0, i]` 表示分配了 `i` 个银币的公司省下的最大价值。 3. 遍历 `f` 数组,并对于每个 `f[x, i]`,设置 `f[x, i] = max(f[x - 1, i - j] + w(j))`,其中 `w(j)` 表示从 `j` 个银币中提取的剩余金额。 4. 找出 `f[x, i]` 最大的值,其中 `i` 在 `[0, m]` 之间。 5. 将 `f[x, i]` 的值与 `k * g - p` 相等,其中 `p` 表示最终公司的花费。 6. 返回 `k * g - p`。 **B. Astrophysics 的思路** 1. 编写一个算法,计算每个人的最优分配方式。 2. 对于每个人的分配方式,计算所获得的银币数量。 3. 找出所有人的最优分配方式中,使得总花费最少。 4. 输出最优分配方式中的银币数量。

正文

A.Destroyer

开个桶记录个数,看满不满足单调不上升即可。

B.Astrophysicists

辛辛苦苦写了这么久的文章就没了????烦死了。

自己做 Virtual Contest 的时候这道题打表打了半天(20min)才搞定……

题目大意

\(n\) 个人,\(k\) 个金币,每个金币价值 \(g\) 个银币。

良心公司要把这 \(k\) 个金币作为工资分给这 \(n\) 个人,但是没有办法平均分配,良心老板想出了分配规则:

  • 由你设定每个人分配的银币数 \(x_i\)

  • 你需要保证 \(\sum_{i = 1}^n x_i = k \times g\)

  • 老板会把银币数转化为金币发放,所以想出了以下规则:

    • \(r = x \mod g\),如果 \(r \ge \lceil \frac g2 \rceil\),那么公司会额外花费 \(g - r\) 个银币以凑出完整的金币(此时花费了 \(x + g - r\) 个银币)。

    • 反之,会吞掉这 \(r\) 个银币以凑出完整的金币(此时花费了 \(x - r\) 个银币)。

假定最终公司的花费为 \(p\) 个银币。你需要最小化 \(p\),并输出 \(k \times g - p\)

解题思路

如果开始没有思路,那么打表是一个很好的方法。

首先我们可以很轻易的得到一个 \(O(nkg)\) 的 DP 算法。

\(f_{x, i}\) 表示处理到第 \(x\) 个人,一共分配了 \(i\) 个银币公司省下的最多银币。

有转移方程:

\[f_{x, i} = \max_{0 \le j \le i} f_{x - 1, i - j} + w(j) \]

其中:

\[r = j \mod g \]

\[w(j) = \begin{cases} r - g &, r \ge \lceil \frac g2 \rceil \\ r &, r \lt \lceil \frac g2 \rceil \end{cases} \]

运行后输出 DP 数组,结合 \(m = \lceil \frac g2 \rceil - 1\)可以很轻易的发现规律:

最终的数组分为两个部分:

  • 第一个部分为 \([0, nm]\),下标与数值一一对应。

  • 第二部分为 \([-\lfloor \frac g2 \rfloor - m - nm, nm]\) 不断循环。


现在我们来严谨证明一下。

理想状态下,我们自然是给每一个人分发 \(m = \lceil \frac g2 \rceil - 1\) 个银币,这样就可以吞掉 \(nm\) 个银币。

但是可能存在一下两种情况:

  • 其实根本没有 \(nm\) 个银币,所以全部都分配到 \(\le m\) 个。所以全部可以吞掉。对应上文中第一部分。

  • 还剩下了 \(r = k \times g - nm\) 个银币。由于我们可以按照一个金币为单位再分配,所以我们只需要关注 \(r \mod g\) 的值。

    显然,如果把这些银币分给不同的人是不优的,因为破坏了老板吞掉更多人 \(m\) 个银币的美梦。

    所以这些银币应该全部分配给一个人,对于答案做出贡献 \(w(m + k \times g- nm) - m\)

    化简一下)对应上文中第二部分。

提交记录:https://codeforces.com/contest/1836/submission/211134556

C.k-th equality

注意,注意:

Each input file has at most 5 test cases which do not satisfy A,B,C≤3.

所以,\(O(10^{\min(A, B)})\) 可以过。

那么考虑顺序枚举 \(A\) 位的数 \(a\),满足的数 \(b\) 应该为一个连续区间,这个可以 \(O(1)\) 解决。

所以区间长度与 \(k\) 判断一下即可。

提交记录:https://codeforces.com/contest/1836/submission/211137329

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